1. 考慮一個自由度為 1 的質點，系統的拉格朗日量為 $L = L(q, \dot{q}, t)$。設質點於時刻 $t=t_1$ 從 $P_1$ 出發，於時刻 $t=t_2$ 抵達 $P_2$。定義作用量積分 $S$ 為 $$S = \int^{t_2}_{t_1} L dt.$$ 根據最小作用量原理，質點的運動會使 S 的值為最小。也就是說，即使運動稍微偏離真實路徑成為 $(q+\delta q, \dot{q}+\delta{\dot{q}})$，對任意的 $\delta q$ 與 $\delta \dot{q}$，作用量積分都不會改變。因此，$$\delta S = \delta \int^{t_2}_{t_1} L dt = 0.$$ 根據上式推導歐拉－拉格朗日方程 $$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0.$$ 其中起點 $P_1$ 與終點 $P_2$ 固定，且 $\delta(t_1) = \delta(t_2) = 0$。此外，$\delta q$ 與 $\delta \dot{q}$ 足夠小，二階以上的項可以忽略。
解答
$$\delta L = \frac{\partial{L}}{\partial{q}} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}$$
利用分部積分，
$$\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} dt = - \int \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \Big) \delta q dt + \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right]$$
於是，
$$\delta S = \int^{t_2}_{t_1} \delta L dt = \int^{t_2}_{t_1} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt$$
$$= \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right]^{t_2}_{t_1} + \int^{t_2}_{t_1} \left\{ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right\} \delta q dt = 0$$
因此，
$$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0$$
2. 考慮拉格朗日量在座標平移 $q \rightarrow q + \Delta q$ 下不變的系統，此時 $p$ 守恆。$$p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$ 這可以從歐拉－拉格朗日方程的第一項為 0 得知，對應於動量守恆定律。另一方面，當拉格朗日量在時間平移 $t \rightarrow t + \Delta t$ 下不變時，證明能量守恆。提示：計算 L 的全微分。
解答
只需證明 $dE = 0$。
$$E = p\dot{q} - L \implies dE = d(p\dot{q}) - dL$$
另外，
$$dL = \frac{\partial L}{\partial q} dq + \frac{\partial{L}}{\partial \dot{q}} d\dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} dt$$
這裡 $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$、$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = p$，並由歐拉－拉格朗日方程得 $\frac{\partial L}{\partial q} = \dot{p}$。因此，
$$dL = \dot{p} dq + p d\dot{q} = d(p\dot{q})$$
代回上式，
$$dE = d(p\dot{q}) - d(p\dot{q}) = 0$$
3. 如圖 2.3.1 所示，在圓柱座標系中，質量為 $m$ 的質點沿著固定於 $z = f(r)$ 的金屬線平滑運動。$f(0) = 0$，金屬線連續且 $f(r)$ 可微。
(1) 以 $m, g, \omega, r, \dot{r}, f, f'(=\frac{df}{dr})$ 表示此系統的拉格朗日量 $L$。其中拉格朗日量為 $L = T - U$，$T$ 為動能，$U$ 為位能。
解答
質點在直角座標系中的位置為，
$$(x, y, z) = (r\cos{\omega t}, r\sin{\omega t}, f(r)).$$
對 $t$ 微分，
$$(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}) = (\dot{r}\cos{\omega t} - r\omega\sin{\omega t}, \dot{r}\sin{\omega t} + r\omega \cos{\omega t}, \dot{r}f')$$
因此，
$$v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 = \dot{r}^2 + r^2\omega^2 + \dot{r}^2(f')^2$$
$$L = T - U = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2\omega^2 + \dot{r}^2(f')^2) - mgf(r)$$
(2) 當質點保持靜止（$\dot{r} = 0$）時，將 L 代入歐拉－拉格朗日方程，並以 $g, \omega, r$ 表示 $f(r)$。
解答
將 $L$ 代入關於 $r$ 的歐拉－拉格朗日方程，
$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) = m\ddot{r}(1 + (f')^2) + 2m\dot{r}^2 f' f''$$
當 $\dot{r} = \ddot{r} = 0$ 時，左邊為 0。
$$\frac{\partial L}{\partial r} = mr\omega^2 - mgf'(r) = 0$$
$$f'(r) = \frac{\omega^2}{g} r \implies \frac{df(r)}{dr} = \frac{\omega^2}{g}r$$
$$f(r) = \frac{\omega^2}{2g} r^2 + C$$
由條件 $f(0) = 0$ 得 $C = 0$。
$$f(r) = \frac{\omega^2}{2g} r^2$$
圖 2.3.1